空间解析几何
向量
向量乘（叉乘）
\[|\vec{a}\times \vec{b}|=|\vec{a}|\bullet|\vec{b}|sin(\widehat{\vec{a},\vec{b} })\]方向以右手定则确定
三角形面积
三角形ABC的面积S为
\[S={1\over 2}|\overrightarrow{BA}\times \overrightarrow{BC}|\]空间曲线
参数方程形式
\(\begin{cases} x=x(t)\\ y=y(t)\\ z=z(t)\\ \end{cases}\) \(在P_0(x_0,y_0,z_0)处的切向量\tau =(x^{'}(t_0),y^{'}(t_0),z^{'}(t_0))\)
方程组形式
\[L:\begin{cases} F(x,y,z)=0\\ G(x,y,z)=0\\ \end{cases}\] \[在P_0(x_0,y_0,z_0)处的切向量\tau = \left.\left ({\partial(F,G)\over \partial(y,z)},-{\partial(F,G)\over \partial(x,z)},-{\partial(F,G)\over \partial(y,x)}\right)\right|_{P_0}\]平面
一般方程
\[\pi:Ax+By+Cz+D=0\]且有
\[\vec n=\{A,B,C\}为法向量\]直线到平面的投影
\(L:\begin{cases} f(x,y,z)=0\\ g(x,y,z)=0\\ \end{cases}\) 经过L的平面束为
\[f(x,y,z)+\lambda g(x,y,z)=0\]选取平面束中与目标平面垂直的平面即可
曲面
旋转
\[L:\begin{cases} f(x,y)=0\\ z=0\\ \end{cases}\]绕x轴旋转而成的曲面为
\[\Sigma _x :f(x,\pm \sqrt{y^2+z^2})=0\]绕y轴旋转而成的曲面为
\[\Sigma _y :f(\pm \sqrt{x^2+z^2},y)=0\]另：
\[L:{x-a \over m}={y-b \over n}={z-c \over p}\]绕z轴旋转而成的曲面为
\[\Sigma _z:x^2+y^2=({m \over p}z+a-{mc \over p})^2+({n \over p}z+b-{nc \over p})^2\]切平面与法线
\[\pi:F(x,y,z)=0\] \[在P处的法向量:\vec{n}=(F_x^{'}|_P,F_y^{'}|_P,F_z^{'}|_P)\]距离
点到平面的距离
\[M_0(x_0,y_0,z_0),\pi :Ax+By+Cz+D=0\] \[d={|Ax_0+By_0+Cz_0+D|\over \sqrt{A^2+B^2+C^2}}\]点到直线的距离
\[M_0(x_0,y_0,z_0),L: {x-x_1 \over m}={y-y_1 \over n}={z-z_1 \over p}\] \[d={|\overrightarrow{M_0M_1} \times \vec{s}|\over |\vec{s}|}\] \[M_1(x_1,y_1,z_1)\in L,\vec{s}=\{m,n,p\}\]异面直线的距离
\[L_1:{x-x_1 \over m_1}={y-y_1 \over n_1}={z-z_1 \over p_1}\] \[L_2:{x-x_2 \over m_1}={y-y_2 \over n_2}={z-z_2 \over p_2}\] \[d= {|(\vec{s_1}\times \vec{s_2})\bullet \overrightarrow{M_0M_1}| \over |\vec{s_1}\times \vec{s_2}|}\]平行平面的距离
\[\pi_1:Ax+By+Cz+D_1=0\] \[\pi_2:Ax+By+Cz+D_2=0\] \[d={|D_2-D_1|\over \sqrt{A^2+B^2+C^2}}\]夹角
向量夹角
\[\vec{\alpha}与\vec{\beta}的夹角\theta = arccos{\vec{\alpha}\bullet\vec{\beta}\over |\vec{\alpha}||\vec{\beta}|}\]重积分
二重积分求解方式
直角坐标法
若
\[D=\{(x,y)|a\leq x\leq b,\varphi_1(x)\leq y \leq \varphi_2(x)\}\] \[\iint\limits_D f(x,y)d\sigma={\int}^{b}_{a}dx{\int}^{\varphi_2(x)}_{\varphi_1(x)}f(x,y)dy\]类似地
若
\[D=\{(x,y)|\varphi_1(y)\leq x \leq \varphi_2(y),c\leq y\leq d\}\] \[\iint\limits_D f(x,y)d\sigma={\int}^{d}_{c}dy{\int}^{\varphi_2(y)}_{\varphi_1(y)}f(x,y)dx\]特别地
若 \(f(x,y) = \begin{cases} x^{2n}e^{\pm x^{2}}dx \\ e^{k\over x}dx\\ cos{k\over x}dx、sin{k\over x}dx \end{cases}\)
无法积分，需要调换积分次序
极坐标法
若
\(区域D的边界曲线含x^2+y^2\) 或 \(f(x,y)含x^2+y^2\)
令 \(\begin{cases} x=rcos\theta\\ y=rsin\theta\\ d\sigma=rdrd\theta \end{cases}\)
有
\[D=\{(r,\theta)|\alpha \leq \theta \leq \beta,r_1(\theta)\leq r \leq r_2(\theta)\}\] \[\iint\limits_D f(x,y)d\sigma={\int}^{\beta}_{\alpha}d\theta {\int}^{r_2(\theta)}_{r_1(\theta ) }f(rcos\theta,rsin\theta)rdr\]三重积分
投影穿线法
若三维物体的侧面是柱面
先对每个小块dxdy沿z轴积分，再在平面上对xy积分
定限截面法
若三维物体是旋转体
先沿平面积分，再沿z轴积分
曲线积分与曲面积分
曲线积分
做功
\[F=\{P(x,y),Q(x,y)\}\]在曲线段L上做功为
\[W=\int _LP(x,y)dx+Q(x,y)dy\]转换为定积分
\[\int _Lf(x,y)ds=\int^{b}_af[x,y(x)]\sqrt{1+y^{'}(x)^2}dx\]\(\int _Lf(x,y)ds=\int^{b}_af[\phi (t),\psi (t)]\sqrt{\phi ^{'2}(t)+\psi ^{'2}(t)}dt\) \(\int _LP(x,y)dx+Q(x,y)dy=\int ^{\beta}_{\alpha}\{P[x(t),y(t)]x^{'}(t)+Q [x(t),y(t)]y^{'}(t)\}dt\)
\[\int _{(x_1,y_1)}^{(x_2,y_2)}P(x,y)dx+Q(x,y)dy=\int _{x_1}^{x_2}P(x,y_1)dx+\int _{y_1}^{y_2}Q(x_2,y)dy\]柯西-黎曼条件
若D为单连通区域，P(x,y)和Q(x,y)在D内连续可偏导，则
\(若满足{\partial Q \over \partial x}\equiv{\partial P \over \partial y}\) 有
\[u(x,y)=\int _{(x_0,y_0)}^{(x,y)}P(x,y)dx+Q(x,y)dy\]\(其中(x_0,y_0)在D内\)
格林公式
若D为联通区域，L为区域正向边界(逆时针)；P(x,y)、Q(x,y)在D上连续可偏导
则
\[\oint _{L} Pdx+Qdy=\iint \limits_{D}\left({\partial Q \over \partial x}-{\partial P \over \partial y}\right)d\sigma\]斯托克斯公式
曲面积分
转换为二重积分
\[\iint \limits_\Sigma f(x,y,z)dS=\iint \limits_{D_{xy}}f(x,y,z(x,y))\sqrt{1+(z_x^{'})^2+(z_y^{'})^2}dxdy\]高斯公式
\[\Omega 为几何体,\Sigma 为\Omega 的外侧曲面,P(x,y,z)、Q(x,y,z)、R(x,y,z)在\Omega上一阶连续可偏导\] \[\oint \limits_\Sigma Pdydz+Qdzdx+Rdxdy=\iint \limits_\Omega \left({\partial P \over \partial x}+{\partial Q \over \partial y}+{\partial R \over \partial z}\right)dv\]常微分方程
基本概念
- 常微分方程(D.E.)：一个未知函数及其导数或微分的关系式
- 微分方程的解：使D.E.恒成立的函数，形如 \(y=f(x)\)
- 特别地，D.E.通解的项数与该D.E.的阶数相等
- 柯西问题：给出初值条件的定解问题
求解方式
一、可分离变量
形如 \({dy \over dx} =p(y)q(x)\)
将其分离变量为 \({1 \over p(y)}dy=q(x)dx\)
积分
\[\int {1\over p(y)}dy=\int q(x)dx+C\]二、齐次式
形如 \({dy \over dx}=f({y\over x})\)
换元 \(设u={y \over x},y=xu,{dy \over dx}=u+x{du \over dx}\)
得到 \(u+x{du \over dx}=f(u)\)
再按 可分离变量 计算
三、一阶非齐次线性方程
形如
\[y^{'}+p(x)y=q(x)\]解为
\[y=(\int q(x)e^{\int p(x)dx}dx+C)e^{-\int p(x)dx}\]四、二阶可降阶(缺y)
形如
\[y^{''}=f(x,y^{'})\]换元
\[p=y^{'};y^{''}=p^{'}={dp \over dx}\]再按 一阶线性式 计算
五、二阶可降阶(缺x)
形如
\[y^{''}=f(y,y^{'})\]换元
\[p=y^{'};y^{''}=p^{'}=p{dp \over dy}\]再按 一阶线性式 计算
六、二阶常系数齐次线性方程
形如
\[y^{''}+py^{'}+qy=0\]写出特征方程
\(\lambda^2+p\lambda+q=0\) \(\Delta =p^2-4q\)
- $\Delta>0,y=C_1e^{\lambda_1x}+C_2e^{\lambda_2x}$
- $\Delta=0,y=(C_1+C_2x)e^{\lambda_1x}$
- $\Delta<0,\lambda_1=\alpha+i\beta,\lambda_2=\alpha-i\beta,y=e^{\alpha x}(C_1cos\beta x+C_2sin\beta x)$
七、二阶常系数非齐次线性方程
形如
\[y^{''}+py^{'}+qy=P_n(x)e^{kx}\]按第六种情况求齐次式通解 $y_0$
假设特解
- $k\ne \lambda_1 \ne \lambda_2; y_1=(a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+···+a_1x+a)e^{kx}$
- $k=\lambda_1 \ne \lambda_2;y_1=xy_1(x)$
- $k=\lambda_1 = \lambda_2;y_1=x^2y_1(x)$
分别计算
\[y_1、{y_1}^{'}、{y_1}^{''}\]代入原式求出：$a_n、a_{n-1}、···a_1、a$ 即为特解
则 二阶常系数非齐次线性式 的解为y=通解+特解
八、二阶非齐次线性方程
形如
\[y^{''}+P(x)y^{'}+Q(x)y=f(x)\]先求出对应的二阶齐次线性方程的通解，设通解为
\[Y(x)=C_1y_1(x)+C_2y_2(x)\]则通解为
\[y=y_1(x)v_1+y_2(x)v_2\]其中，$v_1、v_2$是关于x的未知函数，且
\[v_1=C_1+\int(-{y_2(x)f(x) \over y_1y_2^{'}-y_1^{'}y_2})dx\] \[v_2=C_2+ \int {y_1(x)f(x) \over {y_1y_2^{'}-y_1^{'}y_2}}dx\]特别地，有
\[y^{''}+y=cosx\]解为
\[y=C_1cosx+C_2sinx+{1 \over 2}xsinx\]九、全微分方程
形如
\[P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0\]且有$u(x,y)$满足
\[du(x,y)=P(x,y)dx+Q(x,y)dy\]即柯西-黎曼方程
\[{\partial P \over \partial y}={\partial Q \over \partial x}\]则称原式为全微分方程(恰当微分方程)，通解为$u(x,y)=c$
\[解出u(x,y)=\int^{(x,y)}_{(x_0,y_0)}P(x,y)dx+Q(x,y)dy 即可\]十、欧拉方程
形如
\[x^ny^{(n)}+a_{n-1}x^{n-1}y^{(n-1)}+···+a_1xy^{'}+a_0y=f(x)\]令 \(x=e^{t}\)
\[xy^{'}=Dy={dy \over dt}\] \[x^2y^{''}=D(D-1)y={d^2y \over dt^2}-{dy \over dt}\] \[x^3y^{'''}=D(D-1)(D-2)={d^3y\over dt^3}-3{d^2y \over dt^2}+2{dy\over dt}\]依次代入求解
十一、伯努利方程
形如
\({y'+P(x)y=Q(x)y^{n}}\) 代换 \({w={y^{1-n}}\,}\,\) \((注意 { w '= {\frac {(1-n)}{y ^ {n}}} y'})\) \({\displaystyle {\frac {w'}{1-n}}+P(x)w=Q(x)}\) 化为一阶常微分方程
解的性质
线性组成
\(若y_1、y_2是y^{''}+py^{'}+qy=0的解,则C_1y_1+C_2y_2也是其解\)
叠加原理
若
\[y^{''}+p(x)y^{'}+q(x)y=f(x)=f_1(x)+f_2(x)\]且
\[y^{''}+p(x)y^{'}+q(x)y=f_1(x)的解为y_1\] \[y^{''}+p(x)y^{'}+q(x)y=f_2(x)的解为y_2\]则 \(y^{''}+p(x)y^{'}+q(x)y=f(x) 的解为 y_1+y_2\)
级数
审敛法
正项级数的审敛法
\(\sum_{n=1}^{\infty}u_n\)
比较判别法
\(若对正项级数\sum_{n=1}^{\infty}u_n、\sum_{n=1}^{\infty}v_n,有u_n\ge v_n ;\) \(\sum_{n=1}^{\infty}u_n收敛，则\sum_{n=1}^{\infty}v_n收敛\) \(\sum_{n=1}^{\infty}v_n发散，\sum_{n=1}^{\infty}u_n发散\)
比值判别法
\[\lim\limits_{n \to \infty}{u_{n+1}\over u_n}=\rho\]根值判别法
\[\lim\limits_{n \to \infty}\sqrt[n]{u_n}=\rho\] \[(\rho<1收敛,\rho>1发散)\] \[\sum_{n=1}^{\infty}|u_n|收敛，称\sum_{n=1}^{\infty}u_n为绝对收敛\] \[\sum_{n=1}^{\infty}|u_n|发散，\sum_{n=1}^{\infty}u_n收敛，称\sum_{n=1}^{\infty}u_n为条件收敛\]交错级数的审敛法
\[\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1}u_n ,(u_n>0)\]若 \(\lim\limits_{n \to \infty}u_n=0\) \(u_n\ge u_{n+1}\) 收敛
幂级数的收敛域
\[形如\sum_{n=1}^{\infty}u_n(x)的级数称为幂级数\] \[其中u_n(x)是x的n次幂函数\]收敛半径
若 \(\lim\limits_{n \to \infty}\lvert {a_{n+1} \over a_n}\rvert =\rho\)
则收敛半径R=
\[\begin{cases} {1 \over \rho}, & \rho \neq 0,+ \infty,\\ + \infty, & \rho =0,\\ 0, & \rho=+ \infty \end{cases}\]一般地
\(对\sum_{n=0}^{\infty}a_nx^{kn+b}，R=\sqrt[k]{1 \over \rho}\)
阿贝尔
若
\[\sum_{n=0}^{\infty}a_n(x-x_0)^n 在x=x_1处条件收敛\]则
\[收敛半径R=|x_1-x_0|，x=x_0为收敛半径中心\]函数展开
\[e^x=\sum_{n=0}^{\infty}{x^n \over n!}\] \[{1 \over 1-x}=\sum_{n=0}^{\infty}x^n\] \[{sinx = \sum_{n=0}^{\infty}{x^{2n+1}\over(2n+1)!}}\] \[{cos x = \sum_{n=0}^{\infty}{x^{2n}\over(2n)!}}\]求和
化为
\[\sum_{n=1}^{\infty}na_nx^{n-1}=\sum_{n=1}^{\infty}a_n(x^n)^{'}=(\sum_{n=1}^{\infty}a_nx^n)^{'}\]然后积分
或化为
\[\sum_{n=1}^{\infty}{1 \over n}a_nx^n=\sum_{n=1}^{\infty}(\int_0^xa_nx^{n-1}dx)=\int_0^x(\sum_{n=1}^{\infty}a_nx^{n-1})dx\]